La esfera de adentro hacia afuera

[Jorge 001]

Una superficie topológica no pierde sus propiedades siempre y cuando no se corte ó se aplaste y se rasgue por un ángulo de doblez demasiado agudo. Por otro lado, la superficie puede atravesarse a sí misma y seguir siendo válida en el mundo matemático (aunque no así en el físico).

Increíblementem la superficie topológica de una esfera puede voltearse de adentro hacia afuera sin necesidad de rasgarla, ni agujereala, por medio de diversos complicados movimientos, mientras una simple cinta plana no puede hacer lo mismo.

http://science-community.sciam.com/local/assets/media/outside-in.gif

El siguiente video puede gustarle a los aficionados a las matemáticas. Explica detalladamente (en inglés) los pasos para entender el proceso del desdoblamiento de la esfera. Quizá convenga tener una taza con café para acompañarlo, pues está largo, dura 21 minutos.


http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409

[Leviathan]

Muy bueno el video, la verdad no tenia ni idea de como podria ser posible eso.

El video muestra lo complicado que es ese movimiento basado obviamente en las restricciones topologicas de no roturas o rasgaduras. No me quiero imaginar como sera eso matematicamante hablando...

Lo que si no me sabia era eso de que las variedades topologicas pueden atravesarse a si mismas. Esa fue la pequeña trampilla que permitio el cometido jaja. ¿Alguien sabe como se le llama tecnicamente a ese movimiento?

Como bien dices la topologia trata de diversas propiedades invariables en las abstractacciones de cualquier entidad. En la mayoria de los casos esto no es aplicable a nivel fisico directamente. Como es el hecho de que una superficie se atraviese a si misma.

[Jorge 001]

Aunque la superficie se atraviese a sí misma sigue permitiendo sacarle derivadas válidas en todos sus puntos... Al tener la superficie un punto de inflexión ó peor, una rasgadura ya no sería diferenciable en esa parte, quizá es una forma fácil de explicar qué transformación es válida y cual no.

A mi me recordó el caso plano del <a href="http://mathworld.wolfram.com/Limacon.html">caracol de pascal</a> que es una familia de curvas. Un elemento de la familia es la cardioide que tiene un punto de inflexión y divide a familia en dos tipos las que se atraviesan a sí mismas y las que no. La cardiode es el punto de cambio topológico pues lo que separa no son equivalentes.

En el caso 3D está la <a href="http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html">botella de klein</a> que se atraviesa a sí misma. Que las cosas se atraviesen a sí mismas parace una locura a nivel macroscópico pero superficies todavía mas caprichosas se usan para explicar la mecánica cuántica, como <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Calabi-Yau_manifold">ésta</a>. Uno tiende a pensar que para que algo se atraviese a sí mismo se requiere una dimensión extra... pero quizá la dimensión extra sea la ilusión y no el atravesamiento...

[Leviathan]

Aunque la superficie se atraviese a sí misma sigue permitiendo sacarle derivadas válidas en todos sus puntos... Al tener la superficie un punto de inflexión ó peor, una rasgadura ya no sería diferenciable en esa parte, quizá es una forma fácil de explicar qué transformación es válida y cual no.

A mi me recordó el caso plano del caracol de pascal (http://mathworld.wolfram.com/Limacon.html) que es una familia de curvas. Un elemento de la familia es la cardioide que tiene un punto de inflexión y divide a familia en dos tipos las que se atraviesan a sí mismas y las que no. La cardiode es el punto de cambio topológico pues lo que separa no son equivalentes.

Pues si tienes razon, matematicamente hablando debe de haber algo que diferencia una entidad de otra o en topologia una variedad de otra y ese punto como mencionas debe ser donde ya no es posible aplicar operaciones continuas de deformacion como lo son las homotopias, lo cual crea la distincion entre distintas propiedades. Y sin embargo el entrecruce ser totalmente valido (matematicamente).

Usando mi imaginacion -no soy topologo jeje- quiero pensar que esto es debido a que viendolo de manera muy estricta una variedad topologica no es una entidad "fisica" en el espacio(real) a pesar de si trabajar bajo cierta dimensionalidad espacial propia. Con esto quiero decir que el atravesarse a si misma no tiene ningun sentido o equivalencia en el mundo real sino que es parte de las operaciones matematicas solamente pues la topologia trabaja con propiedades invariables y sus transiciones(conservando estas) solamente y no con la realidad estricta (aclaro que no se debe mal entender esto como que la topologia no tiene aplicacion practica). Un ejemplo claro de lo que hablo es que las distancias en topologia son totalmente ambiguas respecto a la geometria donde si importan, asi como la forma exacta de la figura.



En el caso 3D está la botella de klein (http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html) que se atraviesa a sí misma. Que las cosas se atraviesen a sí mismas parace una locura a nivel macroscópico pero superficies todavía mas caprichosas se usan para explicar la mecánica cuántica, como ésta (http://en.wikipedia.org/wiki/Calabi-Yau_manifold). Uno tiende a pensar que para que algo se atraviese a sí mismo se requiere una dimensión extra... pero quizá la dimensión extra sea la ilusión y no el atravesamiento...

Bueno en el caso de la botella de Klein que es una figura No-orientable(no tiene adentro y afuera diferenciados) al estilo de la banda de Möbius, pero cerrada (es decir sin bordes) a diferencia de esta, el atravesarse a si misma es gracias a su dimension extra respecto a lo que estamos acostumbrados. Su superficie es tridimencional (y no 2D como la superficie de una autentica botella o un balon) por lo que en realidad vive en un teorico mundo de 4 dimensiones, es gracias a esto que se puede atravesar a si misma sin romperla o cortarla. Hay que aclarar que esto tiene mas que ver con la geometria de las dimensiones que con la topologia en si.

Creo que para visualisar esto podemos hacer la famosa analogia de planilandia. Un ser circular en 2D puede ser atravesado por un ser en 3D sin necesidad de abrirlo. Igualmente un ser en 4D podria ver el interior de nuestro cuerpo sin abrirnos u operarnos, tendria directamente acceso a nuestros organos y podria ver el interior de las casas y cuertos sin ncesidad de entrar (chin como no soy de 4D, lo que haria jaja). Obviamente dicho ser seria invisible a nuestros ojos limitados a 3D, igual le pasaria a un hipotetico circulo(2D) vivo con nosotros, no nos veria(no directamente).

[Jorge 001]

Bueno en el caso de la botella de Klein que es una figura No-orientable(no tiene adentro y afuera diferenciados) al estilo de la banda de Möbius, pero cerrada (es decir sin bordes) a diferencia de esta, el atravesarse a si misma es gracias a su dimension extra respecto a lo que estamos acostumbrados. Su superficie es tridimencional (y no 2D como la superficie de una autentica botella o un balon) por lo que en realidad vive en un teorico mundo de 4 dimensiones, es gracias a esto que se puede atravesar a si misma sin romperla o cortarla. Hay que aclarar que esto tiene mas que ver con la geometria de las dimensiones que con la topologia en si.
Ahora, se recurre a la cuarta dimensión física para que la botella se pueda cruzar (sí, la banda de Möbius requiere la 3era dimensión para torcerse), <b>siempre y cuando esté hecha de fermiones</b> (partículas de spin 1/2 que por el principio de exclusión de Pauli no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo -ésto es, el cruce en discusión-)... pero ¿qué tal si estuvieran formadas de bosones (fotones y mesones) que pueden ocupar el mismo estado cuántico (lo que conocemos como "lugar")?... Después de todo los condensados de Bose-Einstein existen para temperaturas muy bajas... no sé...

Respecto a las dimensiones me resulta interesante la posibilidad de que las dimensiones superiores (incuídas todas las extras de la teoría de cuerdas) fueran ilusiones... incluída la gravedad:

http://homepage.mac.com/photomorphose/documents/qpdf.pdf

Entonces, la mítica búsqueda de una cuarta dimensión (física real que uno de joven intenta acceder pagando las cuotas de grupos de ocultismo) estaría de más, incluso hasta la familiar "tercera" y hasta el tiempo (cuarta dimensión no-espacial), del que nos damos cuenta por aquello de la causa-efecto... por lo que sí pudieran existir "en el mundo real" superficies que se cruzan a sí mismas siempre que no estén formadas de (ilusorios?) fermiones que podrían estar basados de (verdaderos?) bosones... no sé, se requiere de todos modos la creación de materia, para que evolucione un ser inteligente, juegue con ella por estár "hecho" de ella pero quizá descubra que es ilusioria... Y luego dicen que la física es materialista cuando ya se ocupa de cosas más "finas"...

Por otra parte, el espacio pudiera también estar cuantificado y no permitir la existencia de superficies analíticas de ninguna especie ó quiza me equivoque, estos son terrenos muy complejos...

[Leviathan]

Retomando el tema...

Me parece interesante lo que mencionas sobre el condensado de Bose-Einstein (considerado el 5to estado de agregacion de la materia).

///Para aquellos que no sepan en que consiste el condensado voy a resumirlo de una manera relativamente simple: Consiste en enfriar un monton de Bosones (particulas portadoras de fuerza) hasta casi el cero absoluto, llega un punto donde cada particula "individual" pierde su identidad y comienzan a superponerse sus estados cuanticos o como dice jorge001, ocupan un solo lugar en el espacio (y por lo tanto el concepto espacio tambien queda en suspenso) en forma de una "superparticula unica". Esto se logra gracias a que los bosones (portan fuerza entre fermiones) a diferencia de los fermiones (forman la materia conocida) no siguen el principio de exclusion de Pauli (un tipo repulsion entre fermiones no debida a fuerza alguna), por lo que se les permite estar muy juntos hasta hacerse uno solo///

volviendo al tema, como dije es interesante, porque hace reflexionar sobre la naturaleza de la realidad como la concebimos y como realmente podria ser -una ilusion mental-. Sobre el condensado me parece interesante la posibilidad de que se pueda dividir la superparticula en 2 partes y mantener su correlacion (similar al entrelazamiento cuantico) donde se podria decir que 1 particula esta en 2 lugares a la vez o que las 2 aparentes partes son en realidad una sola.

Aqui es donde se aplica el universo holografico, pues se podria decir que las 2 partes en realidad son una sola interconectadas a traves de alguna dimension compleja (No espacio-tiempo convencional). Es decir la separacion espacial en un condesado Bose-Einstein dividido, al igual que en un entrelazamiento cuantico es algo relativamente ilusorio.<o></o>


---------------------------- O ----------------------------<o></o>

Bueno como mencione, el condensado Bose-Einstein se considera el 5to estado de agregacion. Los otros primeros son los conocidos estados: Solido, Liquido y Gaseoso; el 4to es el Plasma (o gas ionizado supercaliente).

Un 6to estado de agregacion no perfectamente bien confirmado (hay fisicos que aseguran que ya fue creado) es el Plasma Quark-Gluon (QGP). Este estado de la materia consiste mas o menos en que...como ya se ha dicho los fermiones siguen el principio de exclusion de Pauli que se comporta como una repulsion. Los Quarks son fermiones, pero los gluones son bosones que de hecho portan la fuerza de interaccion fuerte entre los quarks mismos. Sin embargo al alcanzar temperaturas de varios billones de grados o su equivalente en electron-volts (eV), los quarks y los gluones se disuelven y se empiezan a juntar bastante como si el principio de exclusion no existiera, asi como tambien se pierde la relacion de carga de color que permite a los quark formar hadrones (estan de a 3 en bariones o de a 2 en ciertos mesones).

Bueno que tiene que ver esto, pues la verdad el tema que quiero tratar es interesante pero largo y en ciertos casos no termino de entender jeje.

Ahora que hablamos del "mundo ilusorio" donde las cosas no son lo que parecen ser, como: el movimiento, la masa-energia, el universo holografico, el tiempo y la materia misma en relacion con el espacio.

El Plasma Quark-Gluon es predicho por la Cromodinamica cuantica (QCD) (rama dentro del Modelo Estandar de la Fisica de las Particulas), pero de manera diferente tambein lo hace la Teoria de Cuerdas. En realidad es la aplicacion de la teoria de cuerdas al universo holografico y esto se me vino a la mente por el link al documento que jorge001 puso sobre la conjetura de Juan Maldacena (un teorico de cuerdas) y donde algunas dimensiones junto a la gravedad podrian ser una ilusion para variar jeje.

Si soy sincero, entiendo a medias la teoria de Maldacena pero la lucha se le hace. El punto es la relacion de todo esto con los Agujeros Negros tan enigmaticos de por si, su relacion con la Teoria de Cuerdas y el mundo Holografico.


Aplicando la conjetura de Maldacena (o correspondencia en espacios adS o anti-de Sitter [espacio de curvatura negativa por lo tanto hiperbolico]) en teoria de Cuerdas, se dice por ejemplo que el plasma Quark-Gluon predicho en 3D, es en realidad un Agujero Negro en 10 dimensiones. Una de las propiedades del plasma es que se comporta como un fluido con una viscosidad increiblemente baja (de hecho es la mas baja conocida), por lo tanto un agujero negro en 10D es equivalente al plasma que vemos en 3D y esto a su vez coincide con la Radiacion de Hawking, donde un agujero negro va evaporandose gradualmente, pero conforme se reduce de tamaño la radiacion se vuelve cada vez mas intensa, por lo que se entiende que al reducirse lo suficiente, el agujero negro se convierte en el plasma quark-gluon en 3D (que arde a billones de grados), mientras que el proceso de evaporacion continua en las demas dimensiones. Un agujero negro es un liquido!!!

[Leviathan]

Otra cosa interesante de los agujeros negros es su relacion con las particulas, un agujero negro podria ser una particula o convertirse en ella. Todo comienza con los estudios del razgado del tejido espacial (teoricamente es posible pinchar el Universo y desinflarlo jeje).


Esto lo menciono tambien por su relacion con la topologia aplicada. En Teoria de Cuerdas tenemos 3 dimensiones espaciales "extendidas" + el tiempo y otras 6 dimensiones mas no observables, pero con la contribucion de los trabajos de Kaluza y Klein sobre la 5ta dimension hace muchos años, se logro ajustar estas dimensiones extras a las observaciones. Se dijo que las 6 dimensiones restantes no las veiamos porque estan compactificadas o enrolladas en un tamaño equiparable a la longitud de Planck (10-34m). Esas 6 dimensiones estan contenidas en una entidad topologica o variedad conocida como espacio Calabi-Yau, dicho espacio es muy importante pues mediante sus conexidades (u hoyos) se logran obtener las 3 familias de particulas conocidas y segun las cuerdas circunden esos espacios Calabi-Yau adoptan los patrones de vibracion correspondiente a cada particula.


Se dice que en el interior de estos espacios 6-dimensionales, existen esferas 3-dimensionales que se pinchan y ocurre un razgado en el tejido espacio, en realidad esto implica algo impensale en Topologia, pues hay una transicion de una variedad a otra no igual topologicamente hablando (No homeomorfa), esto viola totalmente los principios en topologia, de hecho los calculos matematicos en ese punto son terribles.


Lo que ocurre es que en el interior de los espacios Calabi-Yau la esfera 3D (esta esfera tiene su superficie 3D pero esta contenida en 4D, no como un balon cuya superficie es 2D y ocupa un volumen 3D) es la implicada en la transicion (que se conoce como Plegado Conico) del razgado, el resultado final de la transicion es una esfera 2D, pero el punto de rotura es el critico (no fue una simple homotopia). La catastrofe no ocurre poque siempre hay una Brana lista para cubrir la razgadura espacial. ¿Porque hay siempre una brana presente? esto se debe a la mecanica cuantica, asi como una particula tiene la probabilidad de estar en varios lados, igualmente siempre hay una probabilidad entre muchas de que una brana se halle presente u ocupe dicho espacio, sino es una es otra y asi sucesivamente.


El punto interesante aqui es que una vez mas las dimensiones altas proyectan otra cosa en las bajas o las habituales, igual como sucedia con el plasma Quark-Gluon. Bueno la Brana o mas exactamente la 3-brana (Tribrana) que envuelve la esfera 3D dentro de los espacios Calabi-Yau, se muestra como un Agujero Negro en nuestras 3D habituales.


Entonces como dije tambien, la conexidad de los espacios calabi-yau determina los modos en que vibran las cuerdas que a su vez determinan el tipo de particula que sera. Cuando ocurre el razgado espacial, la 3-brana envuelve la aboyadura mientras ocurre una transicion en la topologia de la variedad calabi-yau. Al cambiar la topologia cambia la conexidad en ella misma y por lo tanto el modo en que vibrara una cuerda o en este caso mejor dicho la brana (una cuerda es 1-brana). Conforme la brana o agujero negro disminuya de tamaño, lo hara tambien su masa que acabara siendo "0".

Que tiene que ver esto pues...Lo aun mas interesante es que una brana de masa igual a cero no es otra cosa que una particula de masa cero ¿Cual? pues un Foton. Osea que un agujero negro al reducirse de tamaño se transmuta finalmente en un simple foton.

//recomiendo leer el libro Universo Elegante de Brian Green para mas info sobre lo anterior



De hecho desde la Relatividad se podia deducir algo similar (me refiero a la relacion agujero negro/particulas). Un agujero negro al igual que una particula no tienen muchas caracteristicas que permitan que estos tengan identidad individual respecto a los demas. Solo tienen masa, spin y carga y al igual que por ejemplo un monton de electrones, todos son identicos si tiene los mismos valores en los parametros. Por lo tanto cuando un agujero negro se hiciera suficientemente pequeño (mediante Radiacion de Hawking) o naciera asi ya pequeño o de tamaño microscopico, practicamente se podria confundir con cualquier otra particula (salvo otras cuestiones).

[Jorge 001]

Excelentes y densos los comentarios de Leviathan, dejan a uno pensando en fantásticas salidas que requieren de esfuerzos conscientes... Y muy problemente una de esas fantasías actuales será la siguiente realidad, el mundo de los humildes. En teoría, el universo fue, es y será independientemente del estado del desarrollo del cerebro humano. Los malabares con las matemáticas nuevas permiten modelar más eficientemente la percepción de la realidad y así se descubren más patrones. No hace mucho, el cerebro evolucionado concebía el universo de forma muy diferente de la de hoy...

<img align="right" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Flammarion.jpg/350px-Flammarion.jpg"/>

Para aquellos, ya muertos, hubiera sido fantástico hablar siquiera de electrones y demás... Por lo tanto en en unos cientos de años, la percepción humana será muy distinta de la que tenemos hoy de azar, tiempo, espacio, materia, energía, etc.

Algo que se repite, es que el conocimiento de punta se concentra en pequeños grupos humanos, dejando a los demás con migajas y perdiendo mucho tiempo en hablar del asunto de "injusticia" en lugar de "hacer ciencia" empezando por interesarse, leer y tratar de entender "abriendo la mente"...

Irónicamente, la máxima budista de que "todo es ilusión" pesa mucho en estos asuntos... Porque indica que nuestra inteligencia está limitada, pero que puede incrementarse para salir de las ilusiones (por ejemplo todo el azar de las posiciones y momentos de las partículas) y "controlar" mejor nuestros destinos...